Об олимпиаде

Турнир городов – это ежегодные международные математические состязания школьников 8-11 классов. Впервые турнир состоялся в 1980 году и в нем принимали участия школьники из 3 городов. Популярность соревнований растет год от года и в настоящее время в нем участвуют ребята из 30 стран и более 100 городов. Каждый год проводится осенний и весенний турнир, задания разделены на два варианта: базовый и сложный. Для участия в финале приглашаются только одиннадцатиклассники, для победителей этого тура предусмотрены льготы при поступлении в некоторые физико-ма­тема­тичес­кие  или тех­ни­чес­кие ВУЗы.

Интересно знать

Лучшие математики турнира принимают участие в ежегодной Летней Конференции Турнира Городов. Это не обычная научная конференция, а слёт единомышленников, готовых принять интеллектуальный вызов. Организаторы готовят для них трудные, но очень интересные задачи, на решение которых уходит несколько дней. Многие задачи в качестве одного из пунктов имеют открытые математические проблемы. Все участники конференции получают возможность активного отдыха, интенсивной творческой работы и интересного общения. 

Советы по подготовке

На сайте организаторов https://www.mccme.ru/ можно найти много необходимой для подготовки информации: ссылки на интернет-ресурсы http://www.problems.ru/ для математиков, расписание математических кружков,  данные о математических школах и летних выездных лагерях. 

Примеры заданий

Задания прошлых лет можно посмотреть здесь

Задача осеннего тура, 8-9 класс, базовый вариант:

В каждой клетке полоски длины 100 стоит по фишке. Можно за 1 рубль поменять местами любые 2 соседние фишки, а также можно бесплатно поменять местами любые 2 фишки, между которыми стоят ровно 3 фишки. За какое наименьшее количество рублей можно переставить фишки в обратном порядке? (автор: Егор Бакаев)

Ответ. За 50 рублей.

Решение.

Оценка. Каждая фишка должна поменять чётность своего номера. Бесплатная операция не меняет чётность, а платная меняет её у двух фишек. Поэтому потребуется хотя бы 50 рублей. Пример. Занумеруем фишки по порядку числами от 0 до 99. Покрасим клетки в четыре цвета: abcdabcd…d. Бесплатная операция меняет фишки в соседних одноцветных клетках. Поэтому в клетках одного цвета фишки можно бесплатно переставить в любом порядке. Поменяем фишки во всех парах bc и da – это 49 платных операций. В клетках цвета b и c фишки уже можно расставить нужным образом бесплатно. В клетках цвета a и d сделаем так, чтобы фишки 0 и 99 встали рядом. Поменяем их последней платной операцией и дорасставим все фишки в нужном порядке.

Задача финального устного тура для 11 класса:

Можно ли замостить плоскость параболами, среди которых нет равных? (Требуется, чтобы каждая точка плоскости принадлежала ровно одной параболе и чтобы ни одна парабола не переводилась ни в какую другую параболу движением.)

 ( автор: А. Лопатников)

Ответ. Да.

Решение. Введём на плоскости декартовы координаты (x; y) и рассмотрим всевозможные параболы c уравнениями вида y = ax2 + ln a, где a — произвольное положительное число. Среди этих парабол нет одинаковых, так как коэффициенты при x 2 различны. (Если совместить вершины двух парабол, а также их оси с учётом направления, то парабола, у которой a больше, пойдёт между «рогами» другой.) Зафиксируем произвольное x, и пусть a пробегает положительную полуось. Тогда y = ax2 + ln a является непрерывной функцией от a. Поскольку x 2 ≥ 0, величина ax2 не убывает с ростом a. Функция ln a строго возрастает. Поэтому y строго возрастает по a как сумма неубывающей и строго возрастающей функций. При a → +∞ имеем y → +∞, а при a → 0 имеем y → −∞. Значит, каждое значение y при данном x появится ровно один раз. Поэтому любая точка плоскости принадлежит ровно одной параболе. Комментарий. Вместо ln a можно взять любую непрерывную строго возрастающую функцию от a, которая отображает положительную полуось на всю вещественную ось